Сын Иоганна Даниэля Фельско (1843–1879) – главного архитектора города в Риге. С 1860 по 1863 год работал в архитектурном бюро своего отца. С 1863 по 1865 год учился в строительной школе в Зигене (Вестфалия, Германия), в 1865–1866 гг. – в Берлинской строительной академии и в 1866–1867 гг. – в Царской художественной академии в Санкт-Петербурге, где получил степень свободного художника. С 1867 года был строительным инспектором в Рижской городской управе и учителем рисования в городской ремесленнической школе. С 1875 по 1887 год – ассистент в Рижском политехническом институте. В начале 20 века архитектор рижского кредитного общества домовладельцев и официальный эксперт по художественным вопросам в Строительном управлении города Риги. Очень широкая частная практика архитектора в Риге: ряд фабрик, более 120 многоэтажных жилых домов и множество деревянных жилых зданий. Почти все работы К. И. Фельско созданы в художественно проработанных, сочных формах стиля эклектизма, главным образом, в манере пластического неоренессанса. На ул. Блауманя 28 (1903) использованы также и характерные для стиля модерн орнаментальные рельефы.