Rīgas pilsētas galvenā arhitekta (1843–1879) Johana Daniela Felsko dēls. No 1860. līdz 1863. gadam strādājis sava tēva arhitektūras birojā. No 1863. līdz 1865. gadam mācījies Zīgenes (Vestfālenē, Vācijā) būvskolā, 1865.–1866. gadā – Berlīnes būvakadēmijā un 1866.–1867. gadā – Ķeizariskajā Mākslas akadēmijā Sanktpēterburgā, kur ieguva brīvmākslinieka grādu. No 1867. gada Rīgas pilsētas valdes būvinspektors un zīmēšanas skolotājs pilsētas amatnieku skolā. No 1875. līdz 1887. gadam – asistents Rīgas Politehniskajā institūtā. 20. gs. sākumā Rīgas namīpašnieku kredītsabiedrības arhitekts un pilsētas būvvaldes oficiālais eksperts arhitektūras mākslinieciskajos jautājumos. Ļoti plaša arhitekta privātprakse Rīgā: virkne fabriku, vairāk nekā 120 daudzstāvu dzīvojamo ēku un daudz koka dzīvojamo ēku. Gandrīz visi K. J. Felsko darbi veidoti mākslinieciski izkoptās, sulīgās eklektisma stila formās, galvenokārt plastiskā neorenesanses manierē. Blaumaņa ielā 28 (1903) izmantoti arī jūgendstilam raksturīgi ornamentāli ciļņi.